高考数学综合题解题思路点拨

    复习要点
    1．切实掌握基础知识，提高解题操作技能。
    2．注重数学思想和方法的理解和掌握。
    数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。高考试题中，对数学思想和方法的考查也蕴含在其中，很少直接表达。数学思想包括：函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化。数学思维方法主要包括分析法、综合法、归纳法、演绎法、观察法、试验法、特殊化法等等，数学方法主要指配方法、换元法、待定系数法、比较法、割补法等一些具体方法。
    3．高考综合题重点考查的几种的能力。
    （1）学习新的数学知识的能力，这是指通过阅读理解以前没有学过的新的数学知识（包括新的概念、定理、公式、法则等），能运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力。
    （2）探究数学问题的能力是指运用学过的数学知识通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对数学问题进行探索和研究的能力。
    （3）应用数学知识解决实际问题的能力指正确理解问题的背景，分析实际问题给出的信息，进行提炼加工，建立相应的数学模型，运用所学的数学知识和数学方法解决问题。
    （4）数学创新能力指的是运用已知信息开展数学思维活动，并产生某些新颖的有创见的能力。
    题型解析
    下面就江苏高考综合题的热点题型作一分析，谈谈这些问题的解题思路，供同学们作参考之用。
    一、函数与不等式
    函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容之一，函数的基础知识有：定义域、对应法则、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、极值等。通过函数图像，加深对函数性质的理解，深化数形结合的思想。
    不等式不仅是高中数学的重要内容，也是继续深造的重要基础，所以不等式一直都是高考命题的重点之一。内容主要包括：不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法、不等式的应用。不等式和数学其他模块联系紧密，是重要的数学工具，将基本不等式和实际应用问题相结合的数学综合题在高考中有加强的趋势。
    点评： 本题也可由数形结合求解，但不易说理，这里用分离变量法得出不等式①，再由t的存在性求出m的最大值。
    二、等差数列和等比数列
    等差数列和等比数列是高考中的热点问题，要熟练掌握其定义、通项公式和求和公式，掌握等差数列和等比数列的性质，并会利用等差数列、等比数列定义解题。
    三、导数的应用
    中学数学引入导数这一内容后，研究函数性质方便了很多，如函数的单调性、最值、极值、零点均可用导数来研究，导数的几何意义为曲线在某点处切线的斜率，其物理意义为瞬时变化率，导数作为工具还可用以证明不等式，与导数有关的函数应用问题也是当前高考的热点。
    点评：关键在懂得求最优解的基础上，要密切注意在那里取到最优解，并弄清楚线性目标函数与边界线的斜率应该满足什么关系。（其中当目标函数与边界线重合时可以有无穷多个最优解）。
    四、与圆有关的问题
    确定圆的方程需要三个独立的条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法。而解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题能够较为简捷地得到解决。
    点评：本题的解法充分抓住圆的几何性质，通过等腰直角三角形建立等式，又利用直线与圆有公共点建立不等式，从而求出参数t的范围。问题中的量与参数变化有关，当这些量受某些条件制约时，参数范围会受到限制，这类问题常通过建立等式及不等式组成的式组解决。